Tento článek popisuje možné řešení úlohy popsané ve článku Osmisměrka ve 3D. Pokud jste úlohu ještě neviděli, podívejte se nejdřív na ni.

Možné řešení

Původně jsem chtěl pospat několik různých postupů, jak se dobrat k celkovému počtu směrů - úvahou, graficky a matematicky. Nakonec jsem přišel na řešení, které kombinuje všechny tyto metody a snad bude stravitelné pro všechny.

Než se vrhneme na 3D, podívejme se, proč ve 2D to je právě osm směrů. Směry si můžeme nejlépe představit jako nejkratší možné spojnice mezi libovolným písmenem a sousedními políčky, viz obrázek:

Na obrázku jsou vyznačena modře všechna sousední políčka. Každé políčko reprezentuje jeden směr od písmene A uprostřed. Pokud políčka spočítáte, je jich osm.

Matematicky je můžete spočítat tak, že modrá políčka tvoří čtverec o velikosti 3x3, do něhož nepatří políčko, ze kterého se vychází (s písmenem A). Počet směrů tedy spočítáme jako 3x3-1, což se rovná osmi.

U 3D budeme postupovat stejným způsobem. Nyní nebudou políčka čtverce, nýbrž kostky. Pokud vyznačíme všechny políčka kolem výchozího, vznikne nám kostka o velikosti 3x3x3:

Políčko s písmenem A zde není vidět, protože je uprostřed. Pokud modré kostky spočítáme, dostaneme výsledek 26. Pokud na to půjdeme matematicky, objem krychle je 3x3x3 a nesmíme zapomenout na mínus 1, protože políčko s písmenem A do počtu směrů nepatří.

A jak to bude se 4D? Úplně stejně. Sice 4D nedokážeme řešit graficky, ale matematicky můžeme. U 2D počet směrů spočítáme jako 3x3-1, což je 3²-1. U 3D je to 3x3x3-1, což je 3³-1. Pokud se na tyto výpočty podíváte pořádně, zjistíte, že exponent určuje počet rozměrů. Když pro 4D dosadíme čtyřku, dostaneme 3⁴-1, což je 80.